Fonctions paires et impaires

Propriété

Soit \(f\)  une fonction continue sur un intervalle \(I\) , symétrique par rapport à \(0\) . Soit \(a\) un réel de  \(I\) .

• Si \(f\) est une fonction paire, alors on a \(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\text d x =\displaystyle \int_0^a f(x)\text d x\) .
• Si \(f\) est une fonction impaire, alors on a \(\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\text d x =-\displaystyle \int_0^a f(x)\text d x\) .

Exemples

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \([-3~;~3]\) par \(f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}\) . 

• L'intervalle  \([-3~;~3]\)  est symétrique par rapport à \(0\) , 
  
• Pour tout \(x \in [-3~;~3]\) , on a \(f(-x)=\dfrac{(-x)^2}{(-x)^2+1} = \dfrac{x^2}{x^2+1}=f(x)\) .
  

Donc, \(f\) est une fonction paire.
Alors, on obtient \(\displaystyle \int_{-3}^0 f(x)\text d x =\displaystyle \int_0^3 f(x)\text d x\) .

2. Soit \(f\) la fonction définie sur  \([-4~;~4]\) par \(f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}\) .

• L'intervalle  \([-4~;~4]\)  est symétrique par rapport à \(0\) .
  
• Pour tout \(x \in [-4~;~4]\) , on a \(f(-x)=\dfrac{2\times (-x)}{(-x)^2+1} = \dfrac{-2x}{x^2+1}=-\dfrac{2x}{x^2+1}=-f(x)\) .
  

Donc, \(f\) est une fonction impaire. 
Alors, on obtient \(\displaystyle \int_{-4}^0 f(x)\text d x =\displaystyle - \int_0^4 f(x)\text d x\) .